Les nombres premiers décryptés : explorez l'un des plus grands mystères mathématiques

Les nombres premiers sont connus depuis la nuit des temps et leur principe est simple à comprendre. Et pourtant, leur mystère continue de passionner les mathématiciens depuis des siècles.

Comme le magazine Québec Science s’en amuse, « même les ordinateurs les plus puissants se cassent les dents − ou plutôt les circuits − sur les questions qu’on se posait déjà dans l’Antiquité ».

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Qu’est-ce qu’un nombre premier ? Il s’agit des nombres entiers qui ne sont divisibles que par un et par eux-mêmes. C’est par exemple le cas de 7, mais non de 9, décomposable en 3 x 3.

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La série des nombres premiers commence avec des nombres très familiers (2, 3, 5, 7, 11…), mais elle se poursuit à l’infini. Nul ne peut donc en estimer un nombre total ni connaître les plus élevés d’entre eux.

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Pour Andrew Granville, spécialiste de la théorie des nombres à l’Université de Montréal, cité par Québec Science, les nombres premiers sont « les briques fondamentales des mathématiques, l’ADN des nombres entiers ».

En effet, chaque nombre entier peut être décomposé en une combinaison unique de nombres premiers. Par exemple, 27 correspond à 3 x 3 x 3 et 210 à 2 x 3 x 5 x 7.

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Bien que célèbres et familiers, les nombres premiers continuent d’échapper à toute tentative de formaliser leur succession dans l’ordre des nombres. Aucune formule simple ne permet ainsi de les révéler tous.

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Au XVIIIe siècle, le mathématicien allemand Christian Goldbach avait fait la conjecture que tout nombre entier pair supérieur à deux est la somme (et non le produit) de deux nombres premiers.

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Cette hypothèse est toujours jugée très probable par les mathématiciens, mais elle n’a jamais pu être prouvée. Elle est en tout cas vérifiée de 4 à 4 000 000 000 000 000 000 (4 milliards de milliards).

La chaîne YouTube Science étonnante relève une baisse de la fréquence de ces nombres lorsqu’on s’éloigne de 0 : il en existe par exemple 25 entre 0 et 100 (25 % du total), 168 entre 0 et 1000 (16,8 %) et 1229 entre 0 et 10 000 (12,3 %).

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Si la raréfaction des nombres premiers est continue et avérée, il a en revanche été prouvé dès l’Antiquité, avec Euclide, qu’il en existe une infinité. Vertigineux !

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Connaissez-vous les nombres premiers jumeaux ? Il s’agit de ceux qui n’ont qu’une différence de deux, comme 5 et 7, 11 et 13 ou 17 et 19. Ils seraient également infinis et de plus en plus rares à mesure que l’on s’éloigne de zéro.

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Il existe des variantes à ces jumeaux, comme les nombres premiers cousins, dont l’écart est de quatre (comme 7 et 11, ou 13 et 17), et les nombres premiers s e x y s, qui ont un écart de six (comme et 23 et 29). Mais existe-t-il aussi une infinité de paires correspondant à ces écarts ?

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En 2013, le mathématicien Yitang Zhang a réalisé une percée en démontrant que, parmi ces écarts (2, 4, 6…), il en existait au moins un, inférieur à 70 millions, pour lequel la quantité de paires de nombres premiers est infinie. D’autres mathématiciens ont ensuite montré que c’était le cas au moins une fois pour un écart compris entre 2 et 246.

Quoi qu’il en soit, les écarts entre nombres premiers restent aléatoires, et leur répartition n’obéit à aucune règle connue ni à aucune logique apparente.

Au XIXe siècle, le mathématicien allemand Bernhard Riemann a émis l’hypothèse (non démontrée) selon laquelle la nature aurait au contraire réparti ces nombres le plus équitablement possible.

Les Échos rappellent que leur répartition présenterait une ressemblance avec celles des « niveaux d'énergie des gros noyaux atomiques », les deux dessinant des motifs semblables. De quoi intéresser aux nombres premiers d’autres disciplines que les mathématiques !

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La démonstration de l’hypothèse de Riemann est en tout cas l’un des sept « problèmes du millénaire » désignés par l’Institut de mathématiques Clay, qui a promis un million de dollars à quiconque la prouverait. L’énigme des nombres premiers est encore loin d’être résolue !

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